一元三次方程求根公式有哪些

一、计算一元三次方程的判别式Δ

Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。

判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根；当Δ=0时，方程有三个实根，其中有一个重根；当Δ<0时，方程有三个不同的实根。

二、一元三次方程的求根方法

1. 标准型的一元三次方程

标准型的一元三次方程为aX^3+bX^2+cX+d=0（a，b，c，d∈R，且a≠0），其解法有：

盛金公式：先用盛金判别法判断方程的根的情况，然后根据方程的根的情况，使用盛金公式求根。

盛金公式的求根公式为：X = (2∛h Q)/(3∛h)，其中，h为方程的判别式Δ的开方，Q为方程的第一项系数b的立方根。

卡尔丹诺公式：尽管卡尔丹诺公式比较复杂，但是可以通过多次求解二次方程来求得一元三次方程的解。

2. 化简后的特殊类型一元三次方程

通过变量替换将一元三次方程化为特殊类型的方程，这样可以运用特殊类型方程的求根公式来求解。

例如：对于标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，令X=Y-b/(3a)代入方程，可以得到适合卡尔丹诺公式直接求解的特殊类型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

三、盛金公式的优点

盛金公式相较于卡尔丹诺公式，有如下优点：

1. 更简明直观：盛金公式的推导过程相对简单，具有更好的可读性。

2. 更实用：盛金公式在实际应用中更加便捷，特别适合计算机程序实现。

3. 新判别法：盛金公式还提出了一种新的判别法，用于判断一元三次方程的根的情况。

四、特殊一元三次方程的求根公式

特殊类型的一元三次方程有特定的求根公式，如下：

1. 运用卡尔丹诺公式的特殊一元三次方程求根公式为：

t₁ = ∛(-q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(-q/2 √(q²/4 + p³/27))

其中，t₁为方程的解，p为方程的第一项系数的立方，q为方程的第一项系数的平方。

2. 运用盛金公式的特殊一元三次方程求根公式为：

x₁ = A^(1/3) + B^(1/3)

x₂ = A^(1/3)ω + B^(1/3)ω²

x₃ = A^(1/3)ω² + B^(1/3)ω

其中，x₁、x₂、x₃为方程的解，A、B分别为方程的根系列。

五、一元三次方程求根公式的推导过程

盛金公式和卡尔丹诺公式的推导过程相对复杂，需要频繁运用代数的性质和运算规则，涉及到高等代数知识，超出小编的范围。

小编介绍了一元三次方程求根公式的相关内容，包括判别式的计算方法和根的判定、不同类型方程的求根方法、盛金公式的优点、特殊一元三次方程的求根公式以及公式的推导过程。掌握这些知识，可以更好地解决一元三次方程的求解问题。